子范畴

在数学中，一个范畴C的子范畴是一个范畴S，其物件为C内的物件，态射为C内的态射，且有相同的单位态射与态射复合。直观上来看，C的子范畴是一个从C中“移去”部分物件和态射的范畴。

形式定义

令C为一范畴。C的子范畴S给定于

• C中物件的子类，标记为ob(S)，
• C中态射的子类，标记为hom(S)。使得
• 对每个在ob(S)内的X而言，单位态射id_X会在hom(S)内。
• 对每个在hom(S)内的态射f : X → Y而言，源物件X和目标物件Y都会在ob(S)内。
• 对每对在hom(S)内的态射f和g而言，复合f o g会如其定义地在hom(S)内。

上述条件确定S本身也会是个范畴。其中存在一自然函子I : S → C，称之为包含函子，单纯为物件和态射的恒等函数。

一个范畴C的完全子范畴（full subcategory）是一个C的子范畴S，而这子范畴使得每对在S内的物件X和Y，

$\mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$。

一个完全子范畴是一个包括著在S的物件间“所有”态射的范畴。对任一堆在C内的物件A，必存在唯一一个C的全子范畴，其物件为A内的所有物件。

内嵌

给定一个C的子范畴S，其包含函子I : S → C在物件上是忠实且单射的。此函子为完全的当且仅当S为一完全子范畴。

一个函子F : B → C被称之为是一个内嵌若其为

• 一个忠实函子，且
• 在物件上是单射的。等价地说，F是一个内嵌若其在态射上为单射。一个函子F被称之为完全内嵌，则是若其为一完全函子，且为一内嵌。

对任一（完全）内嵌F : B → C而言，F的值域是C的一个（完全）子范畴S，且F可导出一个由B和S间的范畴同构。

子范畴类型

一个C的子范畴S被称之为同构封闭的，若每一个在C内的同构k : X → Y（Y在S内）也会属于S。一个同构封闭完全子范畴被称之为是严格完全的。

一个C的子范畴是宽的，若其包括所有C的物件。一个宽子范畴基本上不会是完全的：一个范畴唯一的完全宽子范畴即是此一范畴本身。

一个塞尔子范畴是指一个阿贝尔范畴C的一非空完全子范畴S，其中对所有在C内的所有短正合序列

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

M会属于S，当且仅当$M'$和$M''$也属于S。

另见

• 反射子范畴