米尔斯常数

米尔斯常数是使对于所有正整数n，二重指数函数

$A^{3^{n}}\;$

的整数部分都是素数的最小正实数A。这个常数以W·H·米尔斯命名，他在1947年证明了这个常数的存在。

米尔斯常数的值是未知的，但如果黎曼猜想成立，它的值大约为：

$A\approx 1.30637788386308069046...$（A051021 （页面存档备份，存于互联网档案馆））。

米尔斯素数

由米尔斯常数所产生的素数称为米尔斯素数；如果黎曼猜想成立，这个数列的最初几项为：

2, 11, 1361, 2521008887…… （OEIS數列A051254）。

如果用a(i)来表示数列中的第i个素数，则a(i)可以计算为大于a(i −1)³的最小的素数。为了保证当n = 1，2，3，……时，A³ⁿ的整数部分是这个素数数列，必须有a(i) < (a(i −1) + 1)³。Hoheisel和Ingham的结果保证了在任何两个足够大的立方数之间一定有一个素数，这足以证明这个不等式，如果我们从一个足够大的素数a(1)开始。从黎曼猜想，可以推出任何两个连续的立方数之间一定有一个素数，这样就可以去掉足够大的条件，并允许米尔斯素数的数列从a(1) = 2开始。

目前已知最大的米尔斯素数（假设黎曼猜想成立）是：

$\displaystyle (((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+70756)^{3}+97220,$

它有20,562位。

计算

通过计算米尔斯素数，我们可以近似计算米尔斯常数为：

$A\approx a(n)^{1/3^{n}}.$

Caldwell & Cheng (2005)用这个方法计算出米尔斯常数的差不多七千位数。目前还没有闭合公式可以计算米尔斯常数，甚至不知道它是不是有理数(Finch 2003)。

参见

• 素数公式

参考文献

• Caldwell, Chris K.; Cheng, Yuanyou, Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem, Journal of Integer Sequences, 2005, 8 (05.4.1) [2008-11-05], （原始内容存档于2011-06-05） .

• Finch, Steven R., Mills' Constant, Mathematical Constants, Cambridge University Press: 130–133, 2003, ISBN 0521818052 .

• Mills, W. H., A prime-representing function, Bulletin of the American Mathematical Society, 1947, 53: 604, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2 .

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Mills' Constant. MathWorld.