無零因子環

在抽象代數中，無零因子環（domain）指的是一類不是零環（英语：Zero ring）的環，在其中若 $ab=0$ ，則必有 $a=0$ 或 $b=0$ ，^[1]有時又稱這樣的環具有「零乘積性質（英语：Zero-product property）」；等價地說，無零因子環就是一個在其中0是唯一的左零因子（或等價地，右零因子）的環。

例子和非例子

$\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ 不是無零因子環，而這是因為在這個環中的2跟3的像不是0，但其乘積是0；更一般地，對於任意的正整數 $n$ 而言， $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 這類的環是無零因子環，當且僅當 $n$ 是質數。
根據韋德伯恩小定理，有限無零因子環必然是有限域。
四元數構成一個非交換的無零因子環；更一般地，任何的除環都是無零因子環，而這是因為在除環中，任何不是零的元素都可逆之故。
所有的Lipschitz四元數（英语：Hurwitz quaternion）構成的環是一個非交換的無零因子環；而Lipschitz四元數指的是形如 $a+bi+cj+dk$ ，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 皆為整數的四元數。
類似地，所有的赫維茲四元數（英语：Hurwitz quaternion）構成的環是一個非交換的無零因子環；而赫維茲四元數指的是形如 $a+bi+cj+dk$ ，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 皆為整數或半整數的四元數。
矩陣環 $M_{n}(R)$ 在 $n\geq 2$ 時不會是無零因子環：在 $R$ 非零時，這樣的矩陣環會有非零的零因子，甚至是0以外的冪零元。像例如說，矩陣單元 $E_{12}$ 的平方為零。
向量空間的張量代數，或等價地，一個域上的非交換變數的多項式的代數 $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ ，是一個無零因子環。這點可藉由非交換單項式的序（英语：monomial order）來證明。
若 $R$ 是一個無零因子環，且 $S$ 是 $R$ 的歐爾擴張（英语：Ore extension），那 $S$ 也是無零因子環。
外爾代數（英语：Weyl algebra）是非交換的無零因子環。
任何域上的李代數的泛包絡代數都是無零因子環。這點可由泛包絡代數上的標準過濾和龐加萊-比科霍夫-偉多定理（英语：Poincaré–Birkhoff–Witt theorem）證明。

群環和零因子問題

設 $G$ 為群而 $K$ 為域，那一個問題是群環 $R=K[G]$ 是否是無零因子環？考慮下述等式：

(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n},

這等式顯示，階為n > 1且有限的元素 $g$ 會在 $R$ 中導出一個零因子。零因子問題問的是，這是否是唯一的阻礙。換句話說，

給定一個域

K

和一個無扭化群

G

，則群環

R=K[G]

是否是一個無零因子環？

目前尚無反例，但截至2017年^[update]為止，這問題依舊未解決。

對於許多特定種類的群，這答案是肯定的。Farkas和Snider在1976年證明說如果 $G$ 是一個無扭化的有限擴張多循環群，且char K = 0，那群環 $R=K[G]$ 就是一個無零因子環。之後Cliff在1980年移除了域特徵的條件；此外在1988年，Kropholler、Linnell和Moody將這類結果給推廣到無扭化可解群及有限擴張可解群之上。而更早以前的米歇爾·拉扎爾（英语：Michel Lazard）在1965年做出、但其重要性被相關領域專家忽視將近二十年研究所處理的是 $K$ 是P進整數環而 $G$ 是 $GL(n,Z)$ 的同餘子群（英语：congruence subgroup）的情況。

整環的譜

零因子有拓樸學上的解釋，至少在交換環的情形下是如此： $R$ 是一個整環，當且僅當 $R$ 是被約環（英语：reduced ring）且其譜 $\mathrm {Spec}$ $R$ 是一個不可約拓樸空間（英语：Hyperconnected space）。這其中第一個性質被認為包含了無窮小的訊息，而第二個性質則是更為幾何的。