沙滕范数

泛函分析中，沙滕范数（Schatten norm，或沙滕–冯·诺依曼范数，Schatten–von-Neumann norm）来自p-可积的推广，与迹类范数、希尔伯特-施密特范数相似。

定义

令$H_{1},\ H_{2}$是希尔伯特空间，$T:\ H_{1}\to H_{2}$是（线性）有界算子。对$p\in [1,\infty )$，定义T的沙滕p-范数为

$\|T\|_{p}=[\operatorname {Tr} (|T|^{p})]^{1/p},$

其中$|T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}$，平方根是算子平方根。

若T是紧的、$H_{1},\,H_{2}$可分离，则

$\|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}$

T的奇异值（即厄米算子$|T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}$的特征值）满足$s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots \geq s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0$。

性质

下面将p的范围推广到$[1,\infty ]$，$\|\cdot \|_{\infty }$表示算子范数。指标$p=\infty$的对偶是$q=1$。

• 沙滕范数是酉不变的：对酉算子U、V、$p\in [1,\infty ]$，

$\|UTV\|_{p}=\|T\|_{p}.$

• 它们满足赫尔德不等式：$\forall p\in [1,\infty ],\ q$使得${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$，以及定义在希尔伯特空间之间的算子$S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})$，

$\|ST\|_{1}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}.$

若$p,q,r\in [1,\infty ]$满足${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}$，则

$\|ST\|_{r}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}$.

赫尔德不等式的这后一个形式有更一般情形的证明（对非交换$L^{p}$空间，而非沙滕-p类。对于矩阵，见）。

• 子乘性：$\forall p\in [1,\infty ]$、定义在希尔伯特空间$H_{1},H_{2},H_{3}$之间的算子$S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})$，

$\|ST\|_{p}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{p}.$

• 单调性：对于$1\leq p\leq p'\leq \infty$，

$\|T\|_{1}\geq \|T\|_{p}\geq \|T\|_{p'}\geq \|T\|_{\infty }.$

• 对偶性：令$H_{1},H_{2}$为有限维希尔伯特空间，$p\in [1,\infty ]$，q满足${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$，则

$\|S\|_{p}=\sup \lbrace |\langle S,T\rangle |\mid \|T\|_{q}=1\rbrace ,$

其中$\langle S,T\rangle =\operatorname {tr} (S^{*}T)$表示希尔伯特-施密特算子。

• 令$(e_{k})_{k},(f_{k'})_{k'}$为希尔伯特空间$H_{1},H_{2}$的两个正交基，则对$p=1$

$\|T\|_{1}\leq \sum _{k,k'}\left|T_{k,k'}\right|.$

备注

注意$\|\cdot \|_{2}$是希尔伯特-施密特范数（见希尔伯特-施密特算子），$\|\cdot \|_{1}$是迹类范数（见迹类算子），$\|\cdot \|_{\infty }$是算子范数（见算子范数）。 对$p\in (0,1)$，函数$\|\cdot \|_{p}$是拟赋范空间的例子。

具有有限沙滕范数的算子称作沙滕类算子，其空间记作$S_{p}(H_{1},H_{2})$。此范数下$S_{p}(H_{1},H_{2})$是巴拿赫空间，对$p=2$是希尔伯特空间。

注意$S_{p}(H_{1},H_{2})\subseteq {\mathcal {K}}(H_{1},H_{2})$，后者即紧算子代数。这是因为，若和有限，则谱也有限或至多是可数无穷多，且以原点为极限点，因此是紧算子。

$p=1$情形常称作核范数（或迹范数、樊𰋀n-范数）。

另见

矩陣範數#Schatten 范数

参考文献

• Rajendra Bhatia, Matrix analysis, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
• John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
• Joachim Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Vol. 20. Springer, New York, 1980.