楚德诺夫斯基算法

楚德诺夫斯基算法（英語：Chudnovsky algorithm），是一种计算圆周率的快速方法。烏克蘭裔美國數學家楚德诺夫斯基兄弟於1988年發表了這套演算法，並使用它计算超过十亿位数字。

该算法基于以下快速收敛的超几何级数：

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+{\frac {3}{2}}}}}.\!$

这个恒等式与拉马努金的某些涉及${\pi }$的公式非常相似。

代码实现

import math
from decimal import Decimal, getcontext
import sys
import time

# 设置 Decimal 的精度，这里设置得很高以便于长时间运行
getcontext().prec = 1000

def compute_pi():
    """
    无限计算 π 的近似值，并实时在同一行更新显示结果。
    
    使用 Chudnovsky 算法计算 π 值，不断提高精度并更新输出。
    """
    c = Decimal(426880 * math.sqrt(10005))
    m = 1
    l = 13591409
    x = 1
    k = 6
    s = Decimal(l)
    i = 0

    while True:
        m = (k**3 - 16*k) * m // (i+1)**3 
        l += 545140134
        x *= -262537412640768000
        s += Decimal(m * l) / x
        k += 12
        pi_approx = c / s
        
        # 逐步显示更多位的 π
        sys.stdout.write(f"\r{pi_approx:.{i+2}f}")
        sys.stdout.flush()
        
        time.sleep(0.1)  # 减慢输出速度
        i += 1

if __name__ == "__main__":
    try:
        compute_pi()
    except KeyboardInterrupt:
        print("\n计算已停止")

这段代码是一个Python程序, 用于无限制地计算π(圆周率)的近似值, 并实时在命令行中更新显示结果. 它基于楚德诺夫斯基算法, 这是一种非常高效的方法, 可以快速计算π的多个小数位.

另见

• π的近似数

参考文献

• Chudnovsky, David V.; Chudnovsky, Gregory V., The Computation of Classical Constants, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1989, 86 (21): 8178–8182 [2009-11-29], ISSN 0027-8424, PMID 16594075, doi:10.1073/pnas.86.21.8178, （原始内容存档于2021-04-02） .