条件收敛是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。
详细定义[编辑]
条件收敛的级数[编辑]
给定一个实数项无穷级数
,如果它自身收敛于一个定值
:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc1b240d0ca91fcb92f6089773b09237cd10e90)
但由每一项的绝对值构成的正项级数:
不收敛:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c39c10696e8ddda3075e66e930f569eb614404b)
那么就称这个无穷级数
是一个条件收敛的无穷级数。[1]:149
条件收敛的广义积分[编辑]
给定一个在区间
上有定义的函数
,如果
在任意的闭区间
上都可积,并且广义积分:
![{\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b0638362697ff9b49fcedb6eea1d046e67f99e)
收敛,而函数绝对值的广义积分:
![{\displaystyle \int _{a}^{+\infty }|f(x)|\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc7e520f24d4fd3208f598ddc8365ffd2b001a2)
发散,那么就称广义积分
条件收敛。[2]:104
无穷级数[编辑]
常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数:
![{\displaystyle A_{h}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34733727eaf880f3f6c58bac57f0230e2c2bb5ab)
它收敛到定值:
,而对应的由每项的绝对值构成的正项函数:
叫做调和级数,是发散的。
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74153389a5c1bf71afe30eb7edc4227bb58f26d0)
广义积分[编辑]
条件收敛的广义积分的一个例子是函数:
在正实数轴上的积分:
![{\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e398d038a3e342dfb70a3dde872d6606ba2cee59)
任取实数
,运用分部积分法可以得到:
![{\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-{\frac {\cos a}{a}}-\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c433e14c02ecdc0ae71552fc63ac9a6c27a13b)
而对任意的正实数
:
![{\displaystyle {\Bigg |}\int _{A}^{B}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x{\Bigg |}\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {|\cos x|}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0e6c7ae2af46a3fbceb3838f1fe8da9b5d3896)
由柯西收敛原理可知广义积分
收敛,所以
![{\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-\lim _{a\to +\infty }{\frac {\cos a}{a}}-\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\cos 1-\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2232c8dfdfd3ad9b9189e39eaaa8f3c5792b2d)
即积分:
收敛。但是,绝对值函数的积分:
不收敛。这是因为对任意自然数
,积分:
![{\displaystyle I_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{(k+1)\pi }}\mathrm {d} x={\frac {2}{(k+1)\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176bcbbf09e1cf4c8631c3ad5810e42c9d9773c8)
所以
![{\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \sum _{k=1}^{+\infty }I_{k}\geqslant {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k+1}}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0b4d673c013cdf457778716074f8ad6764feb7)
因此,积分
是条件收敛的。[2]:104-106
相关定理[编辑]
- 黎曼级数定理:假设
是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数
,都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列
,使得
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3843b5ef5d73d7f8efebf7f39b6a77b88d58aae2)
此外,也存在另一种排列
,使得
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b226528993d44a89b60c9128abb30efcd696141)
类似地,也可以有办法使它的部分和趋于
,或没有任何极限。[3]:192
反之,如果级数是绝对收敛的,那么无论怎样重排,它仍然会收敛到同一个值,也就是级数的和。[3]:193
参考来源[编辑]