在数学裡,本迪克森-杜拉克定理说明了对于一个二维的驻定动力系统
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f799515fadd2c368b23abb1a3cc65823d73c091f)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db519ff7adf3413fbb787b0a5cd3b074378c0683)
如果存在
使得
![{\displaystyle {\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aded5b45f9d6c6e4a1e1bb6bc6713135b007bba)
在研究区域(必须是单连通的)上几乎处处成立,那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用格林定理证出。
运用反证法,假设研究区域为单连通的区域
,其内存在对于动力系统:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f799515fadd2c368b23abb1a3cc65823d73c091f)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db519ff7adf3413fbb787b0a5cd3b074378c0683)
的一组周期解
,其周期为
,那么对于
![{\displaystyle \Gamma :x=x(t)\,\ y=y(t)\,\ 0\leq t\leq T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de17499ebe53a0862c9b99a09bc95fe8b380c43)
所围成的区域
,有
![{\displaystyle \iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy=\int _{\Gamma }\,\varphi (Xdy-Ydx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cfe50c97e74c9e4052619226f68fd06b8c364d)
![{\displaystyle =\int _{0}^{T}\,\varphi (X{\frac {dy}{dt}}-Y{\frac {dx}{dt}})dt=\int _{0}^{T}\,\varphi (XY-YX)dt=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9278e2c93829785a2c1e1b986cbebfa8960227e4)
但是由于使得
的点
的集合是一个测度为零的集合,所以总可以找到
使得
在零点之外不变号。这样
不可能为0,矛盾!
因此周期解不存在,定理得证。
参考资料[编辑]
- 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松,《常微分方程》(第三版),297页,高等教育出版社。
- MICHAL FECKAN,A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION,Proceedings of The
American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X,
Article electronically published on April 25, 2001[1]