微分几何中,曲率形式(curvature form)描述了主丛上的联络的曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。
令 G 为一个李群,记 G 的李代数为
。设
为一个主 G-丛。令
表示 E 上一个埃雷斯曼联络(它是一个E上的 g-值 1-形式)。
那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式,定义为
![{\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=D\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9587c7582e65b6c4a2db43fd6836aa57fa561e92)
这里
表示标准外导数,
是李括号,而 D 表示外共变导数。或者说
![{\displaystyle \Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9e6960b3ab68f28af51a504aba2d949bc2f70b)
向量丛上的曲率形式[编辑]
若
是一个纤维丛,其结构群为 G,我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。
若
是一个向量丛则我们可以把
看作是 1-形式的矩阵,则上面的公式取如下形式:
![{\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4973fd04aed9a7244483637b8cd280877b0bb4f6)
其中
是楔积。更准确地讲,若
和
分别代表
和
的分量(所以每个
是一个通常的 1-形式而每个
是一个普通的2-形式),则
![{\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d\omega _{j}^{i}+\sum _{k}\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b340e515f8703cb0f828565ff192c79721b7206)
例如,黎曼流形的切丛,我们有
作为结构群而
是在
中取值的 2-形式(给定标准正交基,可以视为反对称矩阵)。在这种情况,
是曲率张量的一种替换表述,也就是在曲率张量的标准表示中,我们有
![{\displaystyle R(X,Y)Z=\Omega _{}^{}(X\wedge Y)Z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1035c4958082fb642b4ed7527e6a700b43cdfb2)
上式使用了黎曼曲率张量标准记号。
比安基恒等式[编辑]
如果
是标架丛上的典范向量值 1-形式,联络形式 ω 的挠率
是由结构方程定义的向量值 2-形式:
![{\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f29d9ccd546faebb235ed747c21304460e540f)
这里 D 代表外共变导数。
第一比安基恒等式(对于标架丛的有挠率联络)取以下形式
![{\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta ={1 \over 2}[\Omega ,\theta ]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a10da79180ff3d6bb3d674727bf08397264dc5)
第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立,并有如下形式
![{\displaystyle D\Omega =0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515649886521e140a66b0eb48cd0184079de151f)
- S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.