手徵對稱性

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在量子場論裏，手徵對稱性（chiral symmetry）是物理系統的拉格朗日量可能具有的一種對稱性。具有手徵對稱性的物理系統，其狄拉克場的左手部分與右手部分可以獨立變換。這樣，拉格日量的各個項目可以被分為向量部分和軸向量部分。向量部分對於左手部分與右手部分同等處理；軸向量部分對於左手部分與右手部分不同等處理。

手徵性的概念不僅出現在量子場論，在超弦理論裡也有所用途，例如：IIA型弦中狄拉克場的右手模不具手徵對稱性，導致理論不能滿足現實模型的基本條件。

量子色動力學範例

假設上夸克 $u$ 與下夸克 $d$ 的質量為零，則這兩個夸克組成的物理系統的拉格朗日量為

${\mathcal {L}}={\overline {u}}\,i\displaystyle {\not }D\,u+{\overline {d}}\,i\displaystyle {\not }D\,d$ ；

其中，$u$ 與 $d$ 分別為上夸克與下夸克的狄拉克旋量（Dirac spinor），${\overline {u}}\ {\stackrel {def}{=}}\ u^{\dagger }\gamma ^{0}$ 與 ${\overline {d}}\ {\stackrel {def}{=}}\ d^{\dagger }\gamma ^{0}$ 分別為它們的伴隨旋量，$\displaystyle {\not }D$ 是協變導數，$\gamma ^{0}$ 是第零個狄拉克矩陣。

狄拉克旋量 $\psi$ 可以按照手徵性分解為左手狄拉克旋量 $\psi _{L}$ 與右手狄拉克旋量 $\psi _{R}$ ︰

$\psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi$ 、

$\psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi$ ；

其中，$\gamma ^{5}$ 是第五個狄拉克矩陣，$(1\mp \gamma ^{5})/2$ 是投影算符，可以挑選出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。

拉格朗日量以左手狄拉克旋量與右手狄拉克旋量表示為

${\mathcal {L}}={\overline {u}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,u_{L}+{\overline {u}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,u_{R}+{\overline {d}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,d_{L}+{\overline {d}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,d_{R}$ 。

定義狄拉克旋量二重態為

$q=\left({\begin{matrix}u\\d\end{matrix}}\right)$ 。

重寫狄拉克旋量為

${\mathcal {L}}={\overline {q}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,q_{L}+{\overline {q}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,q_{R}$。

分別對 $q_{L}$ 、$q_{R}$ 用2 x 2 么矩陣 L、R做旋轉變換，則拉格朗日量不變。這種對稱性稱為「手徵對稱性」。這種變換為U(2)_L× U(2)_R變換，可以分解為SU(2)_L×SU(2)_R×U(1)_V×U(1)_A變換。

U(1)_V變換的方式為

$q_{L}\rightarrow e^{i\theta }q_{L}\qquad q_{R}\rightarrow e^{i\theta }q_{R}$。

拉格朗日量對於這變換的對稱性關係到強子數量守恆。

U(1)_A變換的方式為

$q_{L}\rightarrow e^{i\theta }q_{L}\qquad q_{R}\rightarrow e^{-i\theta }q_{R}$。

拉格朗日量對於U(1)_A變換的對稱性在量子層級被打破，這是一個明顯對稱性破缺，這結果稱為U(1)軸反常。

剩下的手徵對稱性SU(2)_L×SU(2)_R會因夸克凝聚被自發打破為向量子群SU(2)_V，稱為同位旋。根據戈德斯通定理，當連續對稱性被自發打破後必會生成一種零質量玻色子，稱為戈德斯通玻色子。手徵對稱性也是連續對稱性，它的戈德斯通玻色子是π介子。對應於這三個生成子的戈德斯通玻色子為π介子。實際而言，由於上夸克與下夸克的質量都很微小。SU(2)_L×SU(2)_R只是一個近似對稱性。因此，π介子具有些微質量，是準戈德斯通玻色子（pseudo-Goldstone boson）。

參閱

• 手徵對稱性破缺

參考文獻

• Walter Greiner and Berndt Müller. Gauge Theory of Weak Interactions. Springer. 2000. ISBN 3-540-67672-4. 
• Gordon L. Kane. Modern Elementary Particle Physics. Perseus Books. 1987. ISBN 0-201-11749-5. 
• Kondepudi, Dilip K.; Hegstrom, Roger A. The Handedness of the Universe. Scientific American. January 1990, 262 (1): 108–115. 
• Winters, Jeffrey. Looking for the Right Hand. Discover. November 1995 [12 September 2015]. （原始内容存档于2017-11-14）. 

外部連結

• To see a summary of the differences and similarities between chirality and helicity (those covered here and more) in chart form, one may go to Pedagogic Aids to Quantum Field Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆） and click on the link near the bottom of the page entitled "Chirality and Helicity Summary". To see an in depth discussion of the two with examples, which also shows how chirality and helicity approach the same thing as speed approaches that of light, click the link entitled "Chirality and Helicity in Depth" on the same page.
• History of science: parity violation
• Helicity, Chirality, Mass, and the Higgs （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Quantum Diaries blog)
• Chirality vs helicity chart （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Robert D. Klauber)