希尔伯特的23个问题
外观
希尔伯特问题(德語:Hilbertsche Probleme)是德國數學家大衛·希爾伯特於1900年在巴黎舉行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲,所提出23道最重要的数学问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下,希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。
希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域,除数学物理外很少涉及应用数学,更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题,7-12是数论问题,13-18属于代数和几何问题,19-23属于数学分析。
问题解決進度
[编辑]以下列出希尔伯特的23個問題,各问题的解答状况可参见各问题条目。
# | 主旨 | 進展 | 說明 |
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第1题 | 连续统假设 | 部分解决 | 1963年美国数学家保羅·柯恩以力迫法證明連續統假設不能由策梅洛-弗蘭克爾集合論(无论是否含选择公理)推導。也就是說,連續統假設成立與否無法由ZF/ZFC確定。 |
第2题 | 算术公理之相容性 | 部分解决 | 庫爾特·哥德爾在1931年證明了哥德爾不完備定理,根岑在1936年证明了一阶算术系统(即皮亚诺算术系统)是自洽的。但这些定理是否已回答了希尔伯特的原始问题,数学界没有共识。 |
第3题 | 两四面體有相同体积之证明法 | 已解决 | 答案:否。1900年,希爾伯特的學生馬克斯·登以一反例證明了是不可以的。 |
第4题 | 建立所有度量空间使得所有线段为測地線 | 部分解决 | 此问题被英国数学史学家杰雷米·格雷(Jeremy Gray)认为过于隐晦。最早的公认解法由苏联数学家阿列克谢·波戈雷洛夫(Алексей Васильевич Погорелов)提出。 |
第5题 | 所有连续群是否皆为可微群 | 部分解决 | 1953年日本數學家山邊英彥证明在无“小的子群”情况下,答案是肯定的[1];但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题,数学界仍有争论(因为希尔伯特那个年代没有“流形”的概念)。 |
第6题 | 公理化物理 | 部分解决 | 希尔伯特后来对这个问题进一步解释,而他自己也进一步研究这个问题。柯尔莫哥洛夫对此也有贡献。然而,尽管公理化已经开始渗透到物理当中,量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分(如量子场论),故该问题未完全解决。但也有争论认为,希尔伯特所说的“物理”一词并不包含在当时尚未发现的量子力学等理论。 |
第7题 | 若b是無理數、a是除0、1之外的代數數,那么ab是否超越數 | 已解决 | 答案:是。分別於1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德與德国数学家特奥多尔·施耐德獨立地解決。 |
第8题 | 黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想 | 未解决 | 虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况,三个问题均仍未被解决。 |
第9题 | 任意代数数域的一般互反律 | 部分解决 | 1927年德国的埃米爾·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的;此外的情况则尚未证明。 |
第10题 | 不定方程可解性 | 已解决 | 答案:否。1970年由苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明。 |
第11题 | 代数系数之二次形式 | 部分解决 | 有理數的部分由哈塞於1923年解決。 |
第12题 | 一般代数数域的阿贝尔扩张 | 部分解决 | 埃里希·赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘理论已基本解决。一般情况下则尚未解决。 |
第13题 | 以二元函數解任意七次方程 | 未解决 | 1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺尔德證明对于单值解析函数,答案是否定的;然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形,因此该问题未获得完全解答。 |
第14题 | 证明一些函數完全系統(Complete system of functions)之有限性 | 已解决 | 答案:否。1959年日本人永田雅宜提出反例。 |
第15题 | 舒伯特演算之严格基础 | 部分解决 | 一部分在1938年由范德瓦爾登得到嚴謹的證明。段海豹和赵学志宣称该问题实际已解决[2]。 |
第16题 | 代数曲线及表面之拓撲結構 | 未解决 | 此问题进展缓慢,即使对于度为8的代数曲线也没有证明。 |
第17题 | 把有理函數写成平方和分式 | 已解决 | 答案:是。1927年埃米爾·阿廷解决此问题,并提出實封閉域。[3][4] |
第18题 | 非正多面體能否密铺空间、球體最紧密的排列 | 已解决 | 1911年比伯巴赫做出“n维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群”;莱因哈特证明不规则多面体亦可填满空间;托马斯·黑尔斯于1998年提出了初步证明,并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明,证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。 |
第19题 | 拉格朗日系统(Lagrangian)之解是否皆可解析 | 已解决 | 答案:是。1956年至1958年恩尼奧·德喬吉和约翰·福布斯·纳什分別用不同方法證明。 |
第20题 | 所有边值问题是否都有解 | 已解决 | 实际上工程和科研中遇到的边值问题都是适定的,因而都可以确定是否有解。[5] |
第21题 | 证明有线性微分方程有給定的單值群(monodromy group) | 已解决 | 此问题的答案取决于问题的表述:部分情况下是肯定的,部分情况下则是否定的。 |
第22题 | 将解析关系(analytic relations)以自守函数一致化 | 部分解决 | 1904年由保罗·克伯和龐加萊取得部分解決。详见单值化定理。 |
第23题 | 變分法的长远发展 | 开放性问题 | 包括希尔伯特本人、昂利·勒贝格、雅克·阿达马等数学家皆投身于此。理查德·贝尔曼提出的动态规划可作为变分法的替代。 |
参阅
[编辑]文獻
[编辑]- Gray, Jeremy J. The Hilbert Challenge. Oxford University Press. 2000. ISBN 0-19-850651-1.
- Yandell, Benjamin H. The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. 2002. ISBN 1-56881-141-1.
- Thiele, Rüdiger. On Hilbert and his twenty-four problems. Van Brummelen, Glen (编). Mathematics and the historian’s craft. The Kenneth O. May Lectures. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC 21. 2005: 243–295. ISBN 0-387-25284-3.
- Dawson, John W. Jr. Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Wellesley, Mass. 1997: A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy.
- Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
- Matiyasevich, Yuri. Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. 1993: An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem. ISBN 0262132958.
- Nagel, Ernest; Newman, James R. Douglas Hofstadter , 编. Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, NY. 2001. ISBN 0-8147-5816-9.
- Reid, Constance. Hilbert. Springer-Verlag, New York. 1996. ISBN 978-0387946740.
- Specific
- ^ Gotô, Morikuni; Yamabe, Hidehiko. On Continuous Isomorphisms of Topological Groups. Nagoya Mathematical Journal. 1950-06, 1: 109–111. ISSN 0027-7630. doi:10.1017/s0027763000022881.
- ^ Haibao, Duan; Xuezhi, Zhao. Make Schubert calculus rigorous. SCIENTIA SINICA Mathematica. 2022-07-11, 52 (8). ISSN 1674-7216. doi:10.1360/SSM-2020-0334 (美国英语).
- ^ Artin, Emil. Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate. Emil Artin Collected Papers. New York, NY: Springer New York. 1965: 273–288. ISBN 9781461257189.
- ^ Artin, Emil; Schreier, Otto. Algebraische Konstruktion reeller Körper. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 1927-12, 5 (1): 85–99. ISSN 0025-5858. doi:10.1007/bf02952512.
- ^ Serrin, James. The solvability of boundary value problems (Hilbert’s problem 19). Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1976: 507–524. ISSN 2324-707X. doi:10.1090/pspum/028.2/0427784.