图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。
同伦（英語：Homotopic[註 1]）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同倫群和上同伦群的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量。
事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱。
两个将环面映射到R3的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。
給定兩個拓撲空間 
和 
。考慮兩個連續函數 
，若存在一個定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的連續映射 ![{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6eaaf371098cbea149a9d014a7a5d97bf51ac9)
使得：
則稱
是 
之间的一个同倫[1]:183。
如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。
我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。
另一種觀點是：對每個
，函數 
定義一條連接 
與 
的路徑：
![{\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10933c953a20a4add485e31d5622ad201928e017)
右侧的循环动画展示了两个嵌入R3中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R3。f，g 是从环面到
R3的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。
当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系[1]:184。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：
如果 f1, g1 : X → Y 是同伦的，并且 f2, g2 : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f2 ∘ f1 与 g2 ∘ g1 : X → Z 也是同伦的。
例一：取 
, 
, 
及 
。則
與 
透過下述函數在 中同倫。
- （注意到此例子不依賴於變數
，通常並非如此。）
- 註：「在
中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將代為子空間
，則雖然 與 仍取值在
，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。
例二：取![{\displaystyle X=[0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2f82953ec31abffd4534cf62f2a095afa901c0)
,
,
及 
。则描繪一個以原點為圓心的單位圓； 停在原點。 與 透過下述連續函數同倫：
- 幾何上來看，對每個值
，函數
描繪一個以原點為圓心，半徑 
的圓。
為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設
是連續函數，固定子空間 
；若存在前述同倫映射 ![{\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831ca2cdbab407ef356b8c3b1ea0a39d6f1965fd)
，滿足：
則稱 
相對於 
同倫。若取 
，則回到原先的同倫定義。
給定兩個拓撲空間
與 
，我們稱之同倫等價（或稱具相同倫型），当且仅当存在兩個連續映射
與
，使得：
同倫到 的恆等映射 
。
同倫到 的恆等映射 
。
同胚蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：
例三：
- 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到
，即去掉一點的平面。
- 線段
![{\displaystyle [a,b]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08268f073d76e500a09a309a45bcc9f19e599db4)
、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。
同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通、同調群及上同調群等等。
同痕（Isotopy）是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數
和 
是嵌入，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。
定義如此： 與 被稱為同痕的，若且唯若存在連續映射使之滿足：
- 對所有
![{\displaystyle t\in [0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181fb92391d7ecbc8467b084d915c2877e36af52)
，映射是個嵌入映射。
同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。
