动力系统理论中,刘维尔–阿诺德定理指出,若在具有n自由度的哈密顿力学系统中,存在n个泊松交换的独立第一运动积分,且能级集是紧的,则就存在到作用量-角度坐标的正则变换,变换后的哈密顿量只依赖于作用量坐标,角度坐标随时间线性变化。因此,若能分离级同时集(level simultaneous set)条件,系统的运动方程便可通过化方求解。定理得名于约瑟夫·刘维尔和弗拉基米尔·阿诺德。[1][2][3][4][5](pp. 270–272)
定理的原始形式是刘维尔于1853年针对
上具有规范辛结构的函数证明的。阿诺德在1974年出版的教科书《经典力学的数学方法》中给出了到辛流形的推广。
初步定义[编辑]
令
是
维辛流形,具有辛结构
。
上的可积系统是
上的n个函数组成的集合,记作
,满足
- (一般)线性独立:稠密集上
![{\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a08931a7246db8beb50a2501f87bdbc69ecaef8)
- 相互泊松交换:泊松括号
对任意一对
都为0
泊松括号是每个
对应的哈密顿向量场的李氏括号。简单说,若
是对应于光滑函数
的哈密顿向量场,则对两光滑函数
,泊松括号是
。
若
,则称点p是正则点(regular point)。
可积系统定义了函数
。
表示函数
的水平集
或记作
。
若给
附加一个区分函数H的结构,则当H可以补全(completed)为可积系统时(即存在可积系统
),哈密顿系统
是可积的。
若
是可积哈密顿系统、p是正则点,则定理描述了正则点的像
的水平集
:
是光滑流形,在由
引发的哈密顿流作用下不变(因此在可积系统的任何元素引发的哈密顿流下也不变)。
- 若
更紧且连通,则就微分同胚于N-环面
。
上存在(局部)坐标
,使得
在水平集上为常,而
。这些坐标称作作用量-角度坐标。
刘维尔可积系统例子[编辑]
可积的哈密顿系统可称作“刘维尔意义上可积”或“刘维尔可积”。比较知名的例子如下。
一些记号是文献中的标准符号。考虑的辛流形是
时,其坐标通常写作
,规范辛形式是
。除非另有说明,否则本节将假设这些参数。
- 哈密顿谐振子:
,其中
。定义
,可积系统是
。
- 连心力系统
,其中
,U是某势函数。定义角动量
,可积系统是
。
参考文献[编辑]