伴隨函子

在範疇論中，函子$F,G$若滿足$\mathrm {Hom} (F(-),-)=\mathrm {Hom} (-,G(-))$，則稱之為一對伴隨函子，其中$G$稱為$F$的右伴隨函子，而$F$是$G$的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。

定義

設$F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2},\;G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}$為函子，若存在雙函子的同構

$\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G(-))$

則稱$F,G$為一對伴隨函子，$G$稱為$F$的右伴隨函子，而$F$是$G$的左伴隨函子。

上述同構進一步給出兩個同構

$\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F\circ G(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(G(-),G(-))$

$\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),F(-))\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G\circ F(-))$

分別在同構的左右兩側置$\mathrm {id} _{F(-)}$與$\mathrm {id} _{G(-)}$，遂得到函子間的態射（即自然變換）：

$\mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{1}}\to G\circ F\quad$（單位）

$F\circ G\to \mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{2}}\quad$（上單位）

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

正合性

设$F,G$是一對伴隨函子，若$F$為右正合则$G$為左正合；此命題可由正合函子與極限的定義直接導出。

例子

伴隨函子在數學中處處可見，以下僅舉出幾個例子：

• 自由對象與遺忘函子是一對伴隨函子，舉群範疇為例，此時單位態射不外是集合$X$到它生成的自由群$F(X)$的包含映射。
• 積與對角函子。
• 設$R$為環，$M$為右$R$-模，則$M\otimes _{R}-:_{R}\mathbf {Mod} \to \mathbf {Ab}$與$\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(-,M):\mathbf {Ab} \to _{R}\mathbf {Mod}$為一對伴隨函子。當$R$可交換時，上式的$\mathbb {Z}$可代為$R$，$\mathbf {Ab}$可代為$_{R}\mathbf {Mod}$。
• 層的正像與逆像。
• 群表示理論中的弗羅貝尼烏斯互反定理（詳閱誘導表示）。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部連結

• Pierre Schapira, Categories and Homological Algebra