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圓內接四邊形的日本定理

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幾何學中,圓內接四邊形的日本定理指出,圓內接四邊形內某些三角形內心形成一個矩形

任意圓內四邊形被對角線分成四個三角形(每條對角線分出兩個三角形)。這些三角形的內心形成一個矩形。

具體而言,設ABCD為任意圓內接四邊形, M1, M2, M3, M4分別為三角形ABD, ABC, BCD, ACD內心,則M1, M2, M3, M4所構成的四邊形為矩形。

證明1

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M1M2M3M4是矩形。

(以下稱為角),因為這兩個角都是弦的周角。

因為

由此可得,

由於這些角相等,是一個圓內接四邊形

根據圓內接四邊形的性質,現在有

同樣地,對於也成立:

角度相加,得到以下結果

由於

所以

以上對於點之間的其他角度也同樣成立,它們都是

因此,是一個矩形。證畢。[1]

證明2

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根據Thébault定理(3)有如下結論[2]

定理 — 
Thébault定理(3)
給定任意三角形上任意一點。作兩個圓,均與、外接圓相切。該兩圓的圓心和三角形內心三點共線共線,且

其中.

下面開始處理原題。

4個黃色圓.

先標記題目中四個三角形的內心.

假設對角線 ACBD 交於 E.

與線段 AEBE 及外接圓相切的圓的圓心記為

類似地,與線段 BECE 及外接圓相切的圓的圓心記為、與線段 CEDE 及外接圓相切的圓的圓心記為、與線段 DEAE 及外接圓相切的圓的圓心記為.

AEBE 的夾角是,根據上面的Thébault定理(3)有如下結論:

三點共線,且

同理,三點共線,且

所以,

由於 (因為它們沿着角 的角平分線),所以 ,所以 是矩形。證畢。

推廣

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作四邊形的對角線的平行線,形成一個平行四邊形,由作圖可知平行四邊形為菱形,於是「與各對角線相切的內切圓半徑之和相等」。

該定理可推廣到圓內接多邊形的日本定理

證明了四邊形的情況後,可以把一般多邊形分成三角形進行歸納而立即證明一般情況。

又見

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參考

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  1. ^ 证明 – 圆内接四边形的日本定理 Beweisarchiv – Japanischer Satz für konzyklische Vierecke. Wikibooks. [2024-06-18]. (原始內容存檔於2024-06-18) (德語). 
  2. ^ Wilfred Reyes: An Application of Thebault's Theorem頁面存檔備份,存於互聯網檔案館). Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185

外部連結

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