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扭歪多面体

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几何学中,扭歪[1][2]多面体(英语:Skew polyhedron)是指顶点、边或面并非全部位于同一个三维空间中的多面体,即扭歪多边形的高一维类比,因此其无法找到一个唯一的内部区域以及其体积

正扭歪多面体代表每个面全等、每条边等长、每个角都相等的扭歪多面体,是一系列可能具有非平面的面或顶点图。考克斯特的研究着重于具有扭歪顶点图新的四维多面体,后期多由布兰科·格林鲍姆英语Branko Grünbaum研究有扭歪面的形状[4]

具有无限多个面的扭歪多面体称为扭歪无限面体。除了扭歪无限面体之外的扭歪多面体仅能存在于四维或以上的空间。

历史

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关于考克斯特,1926年时,约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形(非平面多边形)的概念广义化。

考克斯特针对这种图提出一个施莱夫利符号的扩展符号 {l,m|n} ,其中以{l,m}表示其顶点:每个顶点都是ml边形的公共顶点。他们的顶点图是扭歪多边形,以锯齿的形式存在于两个面中。

能表示为{l,m|n}的正扭歪多面体存在以下等式:

第一系列的{l,m|n}正扭歪多面体与五个正多面体和一个星形正多面体相关:

{l, m | n} 顶点 p 多面体 对称性
阶数
{3,3|3} = {3,3} 4 6 4 0 正四面体 12
{3,4|4} = {3,4} 8 12 6 0 正八面体 24
{4,3|4} = {4,3} 6 12 8 0 立方体 24
{3,5|5} = {3,5} 20 30 12 0 正二十面体 60
{5,3|5} = {5,3} 12 30 20 0 正十二面体 60
{5,5|3} = {5,5/2} 12 30 12 4 大十二面体 60

四维的正扭歪多面体

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A4 考克斯特平面投影
{4, 6 | 3} {6, 4 | 3}
截半五胞体英语Runcinated 5-cell
(60条边、20个顶点)
过截角五胞体
(60条边、30个顶点)
F4 考克斯特平面投影
{4, 8 | 3} {8, 4 | 3}
截半二十四胞体英语Runcinated 24-cell
(576条边、144个顶点)
过截角二十四胞体英语Bitruncated 24-cell
(576条边、288个顶点)
一些位于半正多胞体中的四维扭歪多面体的投影

考克斯特在他的论文《三维和四维空间的正扭歪多面体及其类似物》[5]中列出了较多的一系列扭歪多面体。

偶数皆扭歪多面体
{l, m | n} 顶点 p 结构 对称性 阶数 相关半正多胞体
{4,4| 3} 9 18 9 1 D3xD3 [[3,2,3]+] 9 3-3 超柱体
{4,4| 4} 16 32 16 1 D4xD4 [[4,2,4]+] 16 4-4 超柱体 或 超立方体
{4,4| 5} 25 50 25 1 D5xD5 [[5,2,5]+] 25 5-5 超柱体
{4,4| 6} 36 72 36 1 D6xD6 [[6,2,6]+] 36 6-6 超柱体
{4,4| n} n2 2n2 n2 1 DnxDn [[n,2,n]+] n2 n-n 超柱体
{4,6| 3} 30 60 20 6 S5 [[3,3,3]+] 60 截半五胞体英语Runcinated 5-cell
{6,4| 3} 20 60 30 6 S5 [[3,3,3]+] 60 过截角五胞体
{4,8| 3} 288 576 144 73 [[3,4,3]+] 576 截半二十四胞体英语Runcinated 24-cell
{8,4| 3} 144 576 288 73 [[3,4,3]+] 576 截半二十四胞体英语Bitruncated 24-cell
五角星形的扭歪多面体
{l, m | n} 顶点 p 结构 对称性 阶数 相关的多胞体
{4,5| 5} 90 180 72 10 A6 [[5/2,5,5/2]+] 360 截半大星形一百二十胞体英语grand stellated 120-cell
{5,4| 5} 72 180 90 10 A6 [[5/2,5,5/2]+] 360 过截角大星形一百二十胞体英语grand stellated 120-cell

参见

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参考文献

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  1. Peter McMullen, Four-Dimensional Regular Polyhedra[永久失效链接], Discrete & Computational Geometry September 2007, Volume 38, Issue 2, pp 355-387
  2. Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
  3. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
    • (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  4. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8
    • Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
  5. Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
  6. Schulte, Egon and Wills, Jörg M. On Coxeter's regular skew polyhedra. Discrete mathematics (Elsevier). 1986, 60: 253–262 [2016-08-01]. (原始内容存档于2020-07-12). 
  1. ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. (原始内容存档于2020-11-19). 
  2. ^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辞典. [2024-04-23]. (原始内容存档于2013-07-20). 
  3. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0  p. 25
  4. ^ Abstract Regular Polytopes[3] , p.7, p.17
  5. ^ Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.