賦環空間

賦環空間 （ringed space） 在數學上係指一個拓撲空間配上一個交換環層，其中特別重要的一類是局部賦環空間。此概念在現代的代數幾何學佔重要角色。

定義

• 一個賦環空間是一組資料$(X,{\mathcal {O}}_{X})$，其中$X$為一拓撲空間而${\mathcal {O}}_{X}$是其上的交換環層。
• 若${\mathcal {O}}_{X}$在每一點的莖都是局部環，則稱之局部賦環空間。

全體賦環空間構成一個範疇，$(X,{\mathcal {O}}_{X})$到$(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$的態射是一組$(f,f^{\sharp })$，其中$f:X\rightarrow Y$是連續映射，$f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$是環層的態射（ $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$定義為$V\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))$）。

局部賦環空間亦成一範疇，其態射除上述要求外，還須滿足：對每一點$x\in X$，$f^{\sharp }$在莖上誘導的自然態射$f_{x}^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$必須是局部的（若$(A,{\mathfrak {m}}),(B,{\mathfrak {n}})$是局部環，環同態$\phi :A\rightarrow B$滿足$\phi ^{-1}({\mathfrak {m}})={\mathfrak {n}}$，則稱φ為局部的）。

例子

• 設$X$為任一拓撲空間，${\mathcal {O}}_{X}:U\mapsto C(U)$（$C(U)$表 U 上的連續函數），則$(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 成一局部賦環空間：${\mathcal {O}}_{X,x}$的唯一極大理想由在$x$消沒的函數構成。拓撲空間之間的連續映射誘導出局部賦環空間的態射，反之亦然。
• 上述例子中的$X$可代以微分流形或複流形，並將${\mathcal {O}}_{X}(U)$代以$U$上的光滑函數或全純函數。
• 交換環譜$(\mathrm {A} ,{\mathcal {O}}_{A})$。給定環同態$\phi :A\rightarrow B$，φ誘導出局部賦環空間的態射$(f,f^{\sharp })$；反之任一態射皆由環同態給出。

為了刻劃這些態射，局部的條件在此不可或缺，它可被視為$X$與${\mathcal {O}}_{X}$之間的聯繫；例如，若不要求局部性，則交換環譜的態射不一定由環同態給出——儘管從古典角度看這是必然的。