排序算法

在計算機科學與數學中，一個排序算法（英語：Sorting algorithm）是一種能將一串資料依照特定排序方式排列的算法。最常用到的排序方式是數值順序以及字典順序。有效的排序算法在一些算法（例如搜尋算法與合併算法）中是重要的，如此這些算法才能得到正確解答。排序算法也用在處理文字資料以及產生人類可讀的輸出結果。基本上，排序算法的輸出必須遵守下列兩個原則：

1. 輸出結果為遞增序列（遞增是針對所需的排序順序而言）
2. 輸出結果是原輸入的一種排列、或是重組

雖然排序算法是一個簡單的問題，但是從計算機科學發展以來，在此問題上已經有大量的研究。舉例而言，泡沫排序在1956年就已經被研究。雖然大部分人認為這是一個已經被解決的問題，有用的新算法仍在不斷的被發明。（例子：圖書館排序在2004年被發表）

分類

在计算机科学所使用的排序算法通常依以下標準分類：

• 計算的時間複雜度（最差、平均、和最好性能），依據串列（list）的大小($n$)。一般而言，好的性能是$O(n\log n)$（大O符号），壞的性能是$O(n^{2})$。對於一個排序理想的性能是$O(n)$，但平均而言不可能達到。基於比較的排序算法對大多數輸入而言至少需要$O(n\log n)$。
• 内存使用量（以及其他電腦資源的使用）
• 穩定性：穩定排序算法會讓原本有相等鍵值的紀錄維持相對次序。也就是如果一個排序算法是穩定的，當有兩個相等鍵值的紀錄$R$和$S$，且在原本的串列中$R$出現在$S$之前，在排序過的串列中$R$也將會是在$S$之前。
• 排序的方法：插入、交換、選擇、合併等等。

穩定性

稳定排序纸牌的例子。当纸牌用稳定排序按点值排序的时候，两个5之间必定保持它们最初的次序。在用不稳定排序来排序的时候，两个5可能被按相反次序来排序。

當相等的元素是無法分辨的，比如像是整數，穩定性並不是一個問題。然而，假設以下的數對將要以他們的第一個數字來排序。

$(4,1)(3,1)(3,7)(5,6)$

在這個狀況下，有可能產生兩種不同的結果，一個是讓相等鍵值的紀錄維持相對的次序，而另外一個則沒有：

$(3,1)(3,7)(4,1)(5,6)$ （維持次序）
$(3,7)(3,1)(4,1)(5,6)$ （次序被改變）

不穩定排序算法可能會在相等的鍵值中改變紀錄的相對次序，但是穩定排序算法從來不會如此。不穩定排序算法可以被特別地實作為穩定。作這件事情的一個方式是人工擴充鍵值的比較，如此在其他方面相同鍵值的兩個物件間之比較，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就會被決定使用在原先資料次序中的條目，當作一個同分決賽。然而，要記住這種次序通常牽涉到額外的空間負擔。

排序算法列表

在這個表格中，$n$是要被排序的紀錄數量以及$k$是不同鍵值的數量。

穩定的排序

• 冒泡排序（bubble sort）— $O(n^{2})$
• 插入排序（insertion sort）—$O(n^{2})$
• 鸡尾酒排序（cocktail sort）—$O(n^{2})$
• 桶排序（bucket sort）—$O(n)$；需要$O(k)$額外空間
• 计数排序（counting sort）—$O(n+k)$；需要$O(n+k)$額外空間
• 归并排序（merge sort）—$O(n\log n)$；需要$O(n)$額外空間
• 原地归并排序— $O(n\log ^{2}n)$如果使用最佳的現在版本
• 二叉排序树排序（binary tree sort）— $O(n\log n)$期望时间；$O(n^{2})$最坏时间；需要$O(n)$額外空間
• 鸽巢排序（pigeonhole sort）—$O(n+k)$；需要$O(k)$額外空間
• 基數排序（radix sort）—$O(nk)$；需要$O(n)$額外空間
• 侏儒排序（gnome sort）— $O(n^{2})$
• 圖書館排序（library sort）— $O(n\log n)$期望时间；$O(n^{2})$最坏时间；需要$(1+\varepsilon )n$額外空間
• 塊排序（block sort）— $O(n\log n)$
• Tim排序（Timsort）—$O(n\log n)$平均、最坏时间；$O(n)$最优时间；需要$O(n)$額外空間；是目前已知最快的排序算法，在Python、Swift、Rust等语言的内置排序功能中被用作默认算法

不穩定的排序

• 選擇排序（selection sort）—$O(n^{2})$
• 希爾排序（shell sort）—$O(n\log ^{2}n)$如果使用最佳的現在版本
• 克洛弗排序（Clover sort）—$O(n)$期望时间，$O(n^{2})$最坏情况
• 梳排序— $O(n\log n)$
• 堆排序（heap sort）—$O(n\log n)$
• 平滑排序（smooth sort）— $O(n\log n)$
• 快速排序（quick sort）—$O(n\log n)$期望時間，$O(n^{2})$最壞情況
• 內省排序（introsort）—$O(n\log n)$
• 耐心排序（patience sort）—$O(n\log n+k)$最坏情況時間，需要額外的$O(n+k)$空間，也需要找到最長的遞增子序列（longest increasing subsequence）

不實用的排序

• Bogo排序— $O(n\times n!)$，最壞的情況下期望時間為無窮。
• Stupid排序—$O(n^{3})$;遞迴版本需要$O(n^{2})$額外記憶體
• 珠排序（bead sort）— $O(n)$ 或 $O({\sqrt {n}})$,但需要特別的硬體
• 煎餅排序—$O(n)$,但需要特別的硬體
• 臭皮匠排序（stooge sort）算法简单，但需要约$n^{2.7}$的时间

简要比较

名称	数据对象	稳定性	时间复杂度		額外空间复杂度	描述
			平均	最坏
冒泡排序	数组		$O(n^{2})$		$O(1)$	（无序区，有序区）。 從无序区透過交換找出最大元素放到有序区前端。
选择排序	数组		$O(n^{2})$		$O(1)$	（有序区，无序区）。 在无序区里找一个最小的元素跟在有序区的后面。对数组：比较得多，换得少。
	链表
插入排序	数组、链表		$O(n^{2})$		$O(1)$	（有序区，无序区）。 把无序区的第一个元素插入到有序区的合适的位置。对数组：比较得少，换得多。
堆排序	数组		$O(n\log n)$		$O(1)$	（最大堆，有序区）。 从堆顶把根卸出来放在有序区之前，再恢复堆。
归并排序	数组		$O(n\log ^{2}n)$		$O(1)$	把数据分为两段，从两段中逐个选最小的元素移入新数据段的末尾。 可从上到下或从下到上进行。
			$O(n\log n)$		$O(n)+O(\log n)$ 如果不是从下到上
	链表				$O(1)$
快速排序	数组		$O(n\log n)$	$O(n^{2})$	$O(\log n)$	（小数，基准元素，大数）。 在区间中随机挑选一个元素作基准，将小于基准的元素放在基准之前，大于基准的元素放在基准之后，再分别对小数区与大数区进行排序。
	链表
希爾排序	数组		$O(n\log ^{2}n)$	$O(n^{2})$	$O(1)$	每一輪按照事先決定的間隔進行插入排序，間隔會依次縮小，最後一次一定要是1。
计数排序	数组、链表		$O(n+m)$		$O(n+m)$	统计小于等于该元素值的元素的个数i，于是该元素就放在目标数组的索引i位（i≥0）。
桶排序	数组、链表		$O(n)$	$O(n^{2})$	$O(m)$	将值为i的元素放入i号桶，最后依次把桶里的元素倒出来。
基数排序	数组、链表		$O(k\times n)$	$O(n^{2})$		一种多关键字的排序算法，可用桶排序实现。

• 均按从小到大排列
• k代表数值中的"数位"个数
• n代表数据规模
• m代表数据的最大值减最小值

外部链接

• 不同排序算法间的比较（英语） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 一些排序算法的C及Pascal实现
• 可视化排序 （页面存档备份，存于互联网档案馆）